\chapter{1974年霍金辐射公式 Stephen Hawking Radiation}
\section{引言} 黑洞热力学四大定律表明黑洞具有温度属性。1974年霍金通过量子场论方法证明，时空弯曲背景下的真空涨落会导致黑洞辐射粒子，其能谱分布符合黑体辐射特征。本文详细推导该过程的核心数学表述。

\section{霍金辐射公式} 静态球对称黑洞时空的辐射通量公式为： \begin{equation} \Gamma \sim \exp\left(-\frac{E}{k_B T_H}\right), \quad T_H = \frac{\hbar c^3}{8\pi GMk_B} \end{equation} 其中关键参量： \begin{itemize} \item $T_H$：霍金温度（量纲分析显示与表面引力$\kappa$成正比） \item $E$：辐射粒子能量 \item $\hbar$：约化普朗克常数 \item $c$：光速 \end{itemize}

\section{推导过程} \subsection{弯曲时空量子场论} 在Schwarzschild度规下： \begin{equation} ds^2 = -\left(1-\frac{2GM}{c^2r}\right)c^2dt^2 + \left(1-\frac{2GM}{c^2r}\right)^{-1}dr^2 + r^2d\Omega^2 \end{equation}

采用乌龟坐标变换$r_* = r + \frac{2GM}{c^2}\ln\left|\frac{r}{2GM/c^2}-1\right|$，将径向方程简化为波动方程形式。

\subsection{视界附近的模展开} 在$r\rightarrow 2GM/c^2$附近，Klein-Gordon方程解可分解为： \begin{align} \phi_{\omega} &\sim e^{-i\omega t}R_{\omega}(r) \ R_{\omega}(r) &\approx A\exp\left(i\frac{\omega c^3}{4GM}r_\right) + B\exp\left(-i\frac{\omega c^3}{4GM}r_\right) \end{align}

\subsection{解析延拓与Bogoliubov变换} 通过Kruskal坐标延拓发现： \begin{equation} \beta_{\omega\omega'} = \alpha_{\omega\omega'}^* e^{-\pi\omega c^3/(4GM)} \end{equation} 导致产生算符期望值出现热分布： \begin{equation} \langle N_\omega \rangle = \frac{1}{e^{2\pi\omega c^3/(4GM)} - 1} \end{equation}

\section{结论} 该推导验证了黑洞具有热辐射特性，其温度与表面引力成正比。该结果统一了广义相对论与量子场论，为黑洞信息悖论研究奠定基础。
